モナドも、コモナドも、あるんだよ（前篇）

さて、今回はみんな大好きなモナドだよ、まあ俺もそうだけど。

まず圏論のmonadから見てみよう：

はendofunctor*1。今私たちの手元にmorphisms がある。問題は：どんな状況の下で、の意味を変更する事により、が別の圏にのような形式になるのか？
まず、何らかの方法で二つのmorphisms とをのような形式に「結合」しなければならない。そして、この「結合」は圏のcompositionの定義を満足しなければならない。最後、を圏のidとして存在しなければならない。
この新しい圏はKleisli categoryと言い、と表記される。の構成は下記通り：

のobject	元の圏のobject
のmorphism		元の圏のmorphism
*2

とはnatural transformation：

あと、compositionの結合則とidの定義を満足するために、とが下記の法則を従わなければならない：

1、
2、

法則1はcompositionの結合則を保証する：

           (in lhs: naturality )
          ()

法則2は圏におけるidの定義を保証する：

          (naturality )
          ()

triple ()をモナド(monad)という。

さて、次はHaskellのモナドを考察してみよう：

monadクラスの定義：

class Monad m where
  (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
  return :: a -> m a

と、関数joinの定義：

join :: (Monad m) => m (m a) -> m a

こりゃ一目で分かるっしょ：

join <=>
return <=>

それなら >>= は何ぞ？圏論のmonad定義でmonadはtripleであり、tripleの中にがあるのことを注目しよう。つまり、monadはfunctorである。
functorクラスの定義：

class Functor where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

fmap と >>= の定義が似てると思わない？ここで >>= の引数の順番をひっくり返してみよう：

  (>>=改) :: (a -> m b) -> m a -> m b

ちょっと違うな…もし >>= が fmap なら最後の結果はm bじゃなくm (m b)でしょう？えっ？m (m b)とm b？その通り、必要なものはjoinだ。
つまり：

  x >>= f = join . (fmap f) $ x 

そして：

join . fmap f <=>

は何かを似てると思わない？そう、Kleisli categoryのcomposition。実際、Haskellもこのような演算子を定義している：

(>=>) :: Monad m => (a -> m b) -> (b -> m c) -> (a -> m c)
f >=> g = \x -> f x >>= g

>>= を展開すると：

f >=> g = \x -> join . (fmap g) . f $ x 

join . fmap g . f <=>

完全に一致。
次はhaskellのモナド則を検証してみよう：

return >>= f  ==  f                             -- 1
m >>= return  ==  m                             -- 2
m >>= (\x -> f x >>= g)  ==  (m >>= f) >>= g    -- 3

• • 1

return >>= f == f
= join . fmap f . return == f
= join . return . f == f
= join . return == id (when f = id)<=>

• • 2

m >>= return == m
= join . fmap return $ m == m
= join . fmap return == id<=>

• • 3

m >>= (\x -> f x >>= g) == (m >>= f) >>= g
= m >>= (f >=> g) == (m >>= return >>= f) >>= g
= m >>= h >>= (f >=> g) == m >>= (h >=> f) >>= g ( where h = return )
= m >>= (h >=> (f >=> g)) == m >>= ((h >=> f) >=> g)
= h >=> (f >=> g) == (h >=> f) >=> g<=>

またしても完全に一致。

以上の考察により、圏論とHaskellのモナドは全く同じものと言っても良いだろう。しかし、Haskellはjoinではなく>>=演算子をMonadクラスのインタフェースとして定義した。まあ実用の面から考えたら当然だが、結果としてjoinの存在感が薄くなり、初心者にとって空気のような存在になるとかならないとか。joinの重要性に対してこのような扱いはあまりにも不憫しすぎだろう…

結論：joinは犠牲になったのた…>>=の犠牲にな…

(多分つづく)
追記：後篇

参考資料：
Dyads, a generalisation of monads, 1994, Maarten M. Fokkinga http://wwwhome.ewi.utwente.nl/~fokkinga/mmf94c.pdf

*1:endofunctorとはのようなfunctor,つまりendofunctorのマッピング元とマッピング元は同じの圏の意味である。

*2:「;」はmorphisms compositionを意味する記号：「」、まあ「」の記法がHaskellの「g . f」と同じ順番だからこっちの方が好む人が多いかもしれないが…